Nature d'un triangle (2) - Corrigé

Énoncé

Soit $\text{A},\text{B}$ et $\text{C}$ les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}=-1-i\sqrt{3},z_{\text{B}}=-1+i\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}}=2$ . Déterminer la nature du triangle $\text{A}\text{B}\text{C}$ .

Solution

On a
$\begin{array}{rl}\frac{z_{\text{C}}-z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}-z_{\text{A}}}& =\frac{2-(-1-i\sqrt{3})}{-1+i\sqrt{3}-(-1-i\sqrt{3})}\\ & =\frac{2+1+i\sqrt{3}}{-1+i\sqrt{3}+1+i\sqrt{3}}\\ & =\frac{3+i\sqrt{3}}{2i\sqrt{3}}\\ & =\frac{3+i\sqrt{3}}{2i\sqrt{3}}\times \frac{-2i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}}\\ & =\frac{-6i\sqrt{3}+6}{12}\\ & =\frac{1}{2}+i\frac{-\sqrt{3}}{2}\\ & ={\text{e}}^{-\frac{i\pi }{3}}\end{array}$
donc le triangle $\text{A}\text{B}\text{C}$ est équilatéral.